حل فعالیت صفحه 89 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 89 ریاضی دهم - بخش ۱ سلام! این فعالیت به شما نشان می‌دهد که چگونه یک **نامعادله‌ی دوگانه** را می‌توان به دو **نامعادله‌ی ساده** تفکیک کرد و سپس با گرفتن **اشتراک**، جواب نهایی را به دست آورد. این تفکیک برای درک بهتر مفهوم بسیار مفید است. ### **حل نامعادلات تفکیک‌شده** **۱. نامعادله‌ی اول: $\mathbf{-2 < 3x - 1}$** **گام ۱: جداسازی $\mathbf{x}$** عدد $-1$ را به طرف چپ منتقل می‌کنیم (با تغییر علامت): $$-2 + 1 < 3x$$ $$-1 < 3x$$ **گام ۲: پیدا کردن $\mathbf{x}$** بر $3$ تقسیم می‌کنیم (چون $3$ مثبت است، جهت نامعادله تغییر نمی‌کند): $$\mathbf{-\frac{1}{3} < x} \quad \text{یا} \quad \mathbf{x > -\frac{1}{3}}$$ **مجموعه جواب اول:** $$\left( -\frac{1}{3}, +\infty \right)$$ $$\mathbf{-2 < 3x - 1} \Rightarrow \mathbf{-1 < 3x} \Rightarrow \mathbf{x > -\frac{1}{3}}$$ --- **۲. نامعادله‌ی دوم: $\mathbf{3x - 1 \le 8}$** **گام ۱: جداسازی $\mathbf{x}$** عدد $-1$ را به طرف راست منتقل می‌کنیم (با تغییر علامت): $$3x \le 8 + 1$$ $$3x \le 9$$ **گام ۲: پیدا کردن $\mathbf{x}$** بر $3$ تقسیم می‌کنیم (چون $3$ مثبت است، جهت نامعادله تغییر نمی‌کند): $$\mathbf{x \le 3}$$ **مجموعه جواب دوم:** $$(-\infty, 3]$$ $$\mathbf{3x - 1 \le 8} \Rightarrow \mathbf{3x \le 9} \Rightarrow \mathbf{x \le 3}$$ ### **اشتراک جواب‌ها (جواب نهایی)** چون متغیر $x$ باید **هم‌زمان** در هر دو نامعادله صدق کند، جواب نهایی **اشتراک** دو مجموعه‌ی جواب است: $$ \left( -\frac{1}{3}, +\infty \right) \cap (-\infty, 3] = \mathbf{\left( -\frac{1}{3}, 3 \right]} $$

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 89 ریاضی دهم - بخش ۲ این بخش، روش اصلی و سریع‌تر برای حل **نامعادلات دوگانه** است. در این روش، عملیات ریاضی (جمع، تفریق، ضرب، تقسیم) به طور هم‌زمان بر هر **سه** قسمت نامعادله اعمال می‌شود. ### **حل نامعادله‌ی دوگانه $\mathbf{-2 < 3x - 1 \le 8}$** **هدف:** تنها کردن $x$ در وسط نامعادله. **گام ۱: حذف $\mathbf{-1}$ (اضافه کردن $\mathbf{+1}$ به هر سه طرف)** * $\text{وسط: } 3x - 1 + 1 = 3x$ * $\text{چپ: } -2 + 1 = -1$ * $\text{راست: } 8 + 1 = 9$ $$\mathbf{-1 < 3x \le 9}$$ **گام ۲: حذف $\mathbf{3}$ (ضرب در $\mathbf{\frac{1}{3}}$ به هر سه طرف)** * $\text{چپ: } -1 \times \frac{1}{3} = -\frac{1}{3}$ * $\text{وسط: } 3x \times \frac{1}{3} = x$ * $\text{راست: } 9 \times \frac{1}{3} = 3$ $$\mathbf{-\frac{1}{3} < x \le 3}$$ **پاسخ جاهای خالی:** $$\mathbf{\underline{-1} < 3x \le 9}$$ $$\mathbf{\underline{-\frac{1}{3}} < x \le \underline{3}}$$ ### **مقایسه جواب‌ها** * **جواب روش تفکیک (بخش ۱):** $\left( -\frac{1}{3}, 3 \right]$ * **جواب روش دوگانه (بخش ۲):** $\left( -\frac{1}{3}, 3 \right]$ **نتیجه‌ی مقایسه:** جواب به دست آمده از روش حل نامعادله‌ی دوگانه **کاملاً با جواب روش تفکیک دو نامعادله برابر است.** این نشان می‌دهد که هر دو روش برای یافتن ناحیه‌ی مشترک (اشتراک) جواب‌ها معتبر هستند و روش دوم اغلب سریع‌تر است. ### **معادل دستگاهی نامعادله** همانطور که مشاهده می‌شود، نامعادله‌ی دوگانه در واقع **هم‌ارز** دستگاه نامعادلات زیر است: $$\begin{cases} 3x - 1 > -2 \quad \text{(طرف چپ)}\ \ 3x - 1 \le 8 \quad \text{(طرف راست)} \end{cases}$$